Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连结DE．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）连结OE，若cos∠BAD=，BE=，求OE的长．

Answer

（1）连接OD，BD，利用切线的性质得出∠ABC=∠2+∠4=90°，进而得出∠ODE=∠1+∠3=90°，即可得出答案；
（2）根据相似三角形的判定与性质得出△ABC∽△ADB，以及AC的长，进而得出答案．
（1）证明：如图1所示，连接OD，BD
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠BDC=90°．
在Rt△BDC中
∵E是BC的中点，∴DE=BC；
∴DE=BE；∴∠1=∠2．
∵OD=OB，∴∠3=∠4；
∵∠ABC=∠2+∠4=90°
∴∠ODE=∠1+∠3=90°，
即OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）【解析】
∵E是BC的中点，O是AB中点，
∴OE∥AC，
∴∠BAD=∠BOE，
∴cos∠BAD=∠BOE=，
∵BE=，
∴OE=．