Question

已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DA=DC，以点D为圆心，DA长为半径的⊙D与AB相切于A，与BC交于点F，过点D作DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：四边形ABED为矩形；
（2）若AB=4，=，求CF的长．

Answer

（1）根据AD∥BC和AB切圆D于A，求出DAB=∠ADE=∠DEB=90°，即可推出结论；
（2）根据矩形的性质求出AB=DE=4，根据垂径定理求出CF=2CE，设AD=3k，则BC=4k，BE=3k，EC=k，DC=AD=3k，在△DEC中由勾股定理得出一个关于k的方程，求出k的值，即可求出答案．
（1）证明：∵⊙D与AB相切于点A，
∴AB⊥AD，
∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴DE⊥AD，
∴∠DAB=∠ADE=∠DEB=90°，
∴四边形ABED为矩形．

（2）【解析】
∵四边形ABED为矩形，
∴DE=AB=4，
∵DC=DA，
∴点C在⊙D上，
∵D为圆心，DE⊥BC，
∴CF=2EC，
∵，设AD=3k（k＞0）则BC=4k，
∴BE=3k，
EC=BC-BE=4k-3k=k，
DC=AD=3k，
由勾股定理得DE2+EC2=DC2，
即42+k2=（3k）2，
∴k2=2，
∵k＞0，
∴k=，
∴CF=2EC=2．