Question

如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若=，则△ABC的边长是    ．

Answer

设正△ABC的边长为x，根据等边三角形的高为边长的倍，求出正△ABC的面积，再根据菱形的性质结合图形表示出菱形的两对角线，然后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半表示出菱形的面积，然后根据所分成的小正三角形的个数的比等于面积的比列式计算即可得解．
【解析】
设正△ABC的边长为x，则高为x，
S△ABC=x•x=x2，
∵所分成的都是正三角形，
∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为x-，较短的对角线为（x-）=x-1，
∴黑色菱形的面积=（x-）（x-1）=（x-2）2，
∴==，
整理得，11x2-144x+144=0，
解得x1=（不符合题意，舍去），x2=12，
所以，△ABC的边长是12．
故答案为：12．