Question

如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．
（1）求证：CE=CF；
（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．

Answer

（1）根据正方形可知AB=AD，由等边三角形可知AE=AF，于是可以证明出△ABE≌△ADF，即可得出CE=CF；
（2）连接AC，交EF与G点，由三角形AEF是等边三角形，三角形ECF是等腰直角三角形，于是可知AC⊥EF，求出EG=1，设BE=x，利用勾股定理求出x，即可求出BC的上，进而求出正方形的周长．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∵，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF．
又BC=DC，
∴BC-BE=DC-DF，即EC=FC
∴CE=CF，

（2）【解析】
连接AC，交EF于G点，
∵△AEF是等边三角形，△ECF是等腰直角三角形，
∴AC⊥EF，
在Rt△AGE中，EG=sin30°AE=×2=1，
∴EC=，
设BE=x，则AB=x+，
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即（x+）2+x2=4，
解得x=，
∴AB=+=，
∴正方形ABCD的周长为4AB=2（+）．