Question

抛物线y=-x²平移后的位置如图所示，点A，B坐标分别为（-1，0）、（3，0），设平移后的抛物线与y轴交于点C，其顶点为D．
（1）求平移后的抛物线的解析式和点D的坐标；
（2）∠ACB和∠ABD是否相等？请证明你的结论；
（3）点P在平移后的抛物线的对称轴上，且△CDP与△ABC相似，求点P的坐标．

Answer

（1）根据平移不改变二次项系数a的值，且平移后的抛物线与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），可知平移后抛物线的表达式为y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3，再运用配方法化为顶点式，即可求出顶点D的坐标；
（2）先由B、C两点的坐标，得出∠OBC=∠OCB=45°，再根据勾股定理的逆定理判断△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，则由正切函数的定义求出tan∠CBD=，在△AOC中，由正切函数的定义也求出tan∠ACO=，得出∠ACO=∠CBD，则∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，即∠ACB=∠ABD；
（3）设P点的坐标为（1，n），先由相似三角形的形状相同，得出△CDP是锐角三角形，则n＜4，再根据∠CDP=∠ABC=45°，得到D与B是对应点，所以分两种情况进行讨论：①△CDP∽△ABC；
②△CDP∽△CBA．根据相似三角形对应边的比相等列出关于n的方程，解方程即可．
【解析】
（1）∵将抛物线y=-x2平移，平移后的抛物线与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），
∴平移后的抛物线的表达式为y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3，即y=-x2+2x+3，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；

（2）∠ACB与∠ABD相等，理由如下：
如图，∵y=-x2+2x+3，
∴点x=0时，y=3，即C点坐标为（0，3），
又∵B（3，0），∠BOC=90°，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=45°．
在△BCD中，∵BC2=32+32=18，CD2=12+12=2，BD2=22+42=20，
∴BC2+CD2=BD2，
∴∠BCD=90°，
∴tan∠CBD===，
∵在△AOC中，∠AOC=90°，
∴tan∠ACO==，
∴tan∠ACO=tan∠CBD，
∴∠ACO=∠CBD，
∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，
即∠ACB=∠ABD；

 （3）∵点P在平移后的抛物线的对称轴上，而y=-x2+2x+3的对称轴为x=1，
∴可设P点的坐标为（1，n）．
∵△ABC是锐角三角形，
∴当△CDP与△ABC相似时，△CDP也是锐角三角形，
∴n＜4，即点P只能在点D的下方，
又∵∠CDP=∠ABC=45°，
∴D与B是对应点，分两种情况：
①如果△CDP∽△ABC，那么=，
即=，
解得n=，
∴P点的坐标为（1，）；
②如果△CDP∽△CBA，那么=，
即=，
解得n=，
∴P点的坐标为（1，）．
综上可知P点的坐标为（1，）或（1，）．