Question

如图，抛物线y=x²-x+a与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其顶点在直线y=-2x上．
（1）求a的值；
（2）求A，B的坐标；
（3）以AC，CB为一组邻边作▱ACBD，则点D关于x轴的对称点D′是否在该抛物线上？请说明理由．

Answer

（1）根据二次函数的顶点坐标的求法得出顶点坐标，再代入一次函数即可求出a的值；
（2）根据二次函数解析式求出与x轴的交点坐标即是A，B两点的坐标；
（3）根据平行四边形的性质得出D点的坐标，即可得出D′点的坐标，即可得出答案．
【解析】
（1）∵抛物线y=x2-x+a其顶点在直线y=-2x上．
∴抛物线y=x2-x+a，
=（x2-2x）+a，
=（x-1）2-+a，
∴顶点坐标为：（1，-+a），
∴y=-2x，-+a=-2×1，
∴a=-；

（2）二次函数解析式为：y=x2-x-，
∵抛物线y=x2-x-与x轴交于点A，B，
∴0=x2-x-，
整理得：x2-2x-3=0，
解得：x=-1或3，
A（-1，0），B（3，0）；

（3）作出平行四边形ACBD，作DE⊥AB，
在△AOC和△BDE中
∵
∴△AOC≌△BED（AAS），
∵AO=1，
∴BE=1，
∵二次函数解析式为：y=x2-x-，
∴图象与y轴交点坐标为：（0，-），
∴CO=，∴DE=，
D点的坐标为：（2，），
∴点D关于x轴的对称点D′坐标为：（2，-），
代入解析式y=x2-x-，
∵左边=-，右边=×4-2-=-，
∴D′点在函数图象上．