Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴的正半轴交于点C，顶点为E．
（1）求抛物线解析式及顶点E的坐标；
（2）如图，过点E作BC平行线，交x轴于点F，在不添加线和字母情况下，图中面积相等的三角形有：______；
（3）将抛物线向下平移，与x轴交于点M、N，与y轴的正半轴交于点P，顶点为Q．在四边形MNQP中满足S_△NPQ=S_△MNP，求此时直线PN的解析式．

Answer

（1）直接运用待定系数法将A（-1，0）、B（3，0）代入y=-x2+bx+c就可以求出解析式，然后化为顶点式就可以求出顶点坐标；
（2）根据两平行线间的距离相等就可以得出△BCF与△BCE的高与底相等；
（3）根据平移可以得出对称轴不变为x=1，就可以求出b的值为2，可以设抛物线的解析式为y=-x2+2x+c（c＞0）．可以分别表示出P、Q的坐标，求出OP、DQ的值，当y=0时可以求出x的值，表示出M、N坐标及MN的长度，
过点Q作QG∥PN与x轴交于点G，连接NG，可以得出S△MNP=S△PNG．由条件得出Rt△QDG∽Rt△PON，由相似三角形的性质就可以求出c的值，从而求出P、N的坐标，再由待定系数法就可以求出直线PN的解析式．
【解析】
（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=-x2+bx+c的得
，
解得：

∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，
即y=-（x-1）2+4．
∴抛物线顶点E的坐标为（1，4）；

（2）∵EF∥BC，
∴△BCF与△BCE的BC边上的高相等，
S△BCF=S△BCE．

（3）将抛物线向下平移，则顶点Q在对称轴x=1上，
∴-=1，
∴-=1，
∴b=2，
设抛物线的解析式为y=-x2+2x+c（c＞0）．
∴此时，抛物线与y轴的交点为P（0，c），顶点为Q（1，1+c）．
∴OP=c，DQ=1+c．
∵y=0时
∴-x2+2x+c=0，
∴，，
∴，．
如图，过点Q作QG∥PN与x轴交于点G，连接NG，则S△PNG=S△PNQ．
∵S△NPQ=S△MNP，
∴S△MNP=S△PNG．
∴．
设对称轴x=1与x轴交于点D，
∴．
∵QG∥PN，
∴∠PND=∠QGD．
∴Rt△QDG∽Rt△PON．
∴．
∴．
 ．
∴点，．
设直线PN的解析式为y=mx+n，将P，N两点代入，得
，
解得：
∴直线PN的解析式为 ．
故答案为：△BCF与△BCE．