Question

已知，如图，等边三角形△ABC中，DG∥BC，点E在GD的延长线上，且DE=DC，连接AF、BD．
（1）求证：△AGE≌△DAB；
（2）F是BC上的一点，连接AF、EF，如果△AEF是等边三角形，那么四边形BDEF是什么四边形？并请说明理由．

Answer

（1）充分利用△ABC是等边三角形的条件，易找出边角边的判别条件．
（2）首先猜想四边形BDEF是平行四边形．根据已知条件已有一组对边平行（DE∥BF），只需再证出一组对边平行（DB∥EF）即可（通过证△AFC≌△GAE，进而证DE=BF也可，但稍麻烦），利用第（1）小题的结论，结合已知条件，可通过同位角相等证得DB∥EF．
【解析】
（1）∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，
∴△AGD是等边三角形，
∴AG=GD=AD，∠AGD=60°，
∵DE=DC，
∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，
在△AGE和△DAB中，
，
∴△AGE≌△DAB （SAS）；

（2）四边形BDEF是平行四边形．
理由如下∵△AGE≌△DAB，
∴∠ABD=∠AEG，
∵△ABC，△AEF是等边三角形，
∴∠ABC=∠AEF，
∴∠ABC-∠ABD=∠AEF-∠AEG，即∠DEF=∠DBC，
∵GE∥BC，
∴∠DEF=∠EFC，
∴∠EFC=∠DBC，
∴DB∥EF，
又∵DE∥BF，
∴四边形BDEF是平行四边形．