Question

设点P是△ABC内任意一点．现给出如下结论：
①过点P至少存在一条直线将△ABC分成周长相等的两部分；
②过点P至少存在一条直线将△ABC分成面积相等的两部分；
③过点P至多存在一条直线将△ABC分成面积相等的两部分；
④△ABC内存在点Q，过点Q有两条直线将其平分成面积相等的四个部分．
其中结论正确的是    ．（写出所有正确结论的序号）

Answer

对于结论①②，根据图形周长、面积的连续性变化，判定其为真命题；
对于结论③，举出反例判定其为假命题；
对于结论④，构造一个满足条件的点Q出来，判定其为真命题．
【解析】
结论①正确．理由如下：
如答图1所示，设点P为△ABC内部的任意一点，经过点P的直线l将△ABC分割后，两侧图形的周长分别为C1，C2（C1，C2中不含线段DE）．

在直线l绕点P连续的旋转过程中，周长由C1＜C2（或C1＞C2）的情形，逐渐变为C1＞C2（或C1＜C2）的情形．在此过程中，一定存在C1=C2的时刻．因此经过点P至少存在一条直线平分△ABC的周长．故结论①正确；
结论②正确．理由如下：
如答图1所示，设点P为△ABC内部的任意一点，经过点P的直线l将△ABC分割后，两侧图形的面积分别为S1，S2．
在直线l绕点P连续的旋转过程中，面积由S1＜S2（或S1＞S2）的情形，逐渐变为S1＞S2（或S1＜S2）的情形．在此过程中，一定存在S1=S2的时刻．因此经过点P至少存在一条直线平分△ABC的面积．故结论②正确；
结论③错误．理由如下：

如答图2所示，AD、BE、CF为三边的中线，则AD、BE、CF分别平分△ABC的面积，而三条中线交于重心G，则经过重心G至少有三条直线可以平分△ABC的面积．故结论③错误；
结论④正确．理由如下：
如答图3所示，AD为△ABC的中线，点M、N分别在边AB、AC上，MN∥BC，且=，MN与AD交于点Q．

∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，
∴===，即MN平分△ABC的面积．
又∵AD为中线，
∴过点Q的两条直线AD、MN将△ABC的面积四等分．
故结论④正确．
综上所述，正确的结论是：①②④．
故答案为：①②④．