Question

甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，甲出发0.5h后乙开始出发，结果比甲早1h到达B地．甲车离A地的路程s₁（km）与行驶的时间t（h）之间的函数关系，如图中线段OP所示；乙车离A地的路程s₂（km）与行驶的时间t（h）之间的函数关系，如图中线段MN所示，a表示A、B两地之间的距离．请结合图中的信息解决如下问题：
（1）分别求出线段MN、OP的函数关系式；
（2）求出a的值；
（3）设甲、乙两车之间的距离为s（km），求s与甲车行驶时间t（h）的函数关系式，并求出s的最大值．

Answer

（1）先确定出点M的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）先求出甲、乙的速度，然后根据乙的时间等于甲的时间减去多用的时间列出方程，解方程即可得到a的值；
（3）求出乙到达B地的时间，然后分四个阶段表示出甲、乙两车之间的距离，再根据一次函数的增减性求出各阶段时的最大值，即可得解．
【解析】
（1）由题意知，M（0.5，0），
设OP的解析式为S1=k1t，
则1.5k1=60，
解得k1=40，
∴S1=40t；
设MN的解析式为S2=k2t+b，
则，
解得，
所以，S2=60t-30，
因此，线段OP、MN表示的函数关系式分别为：S1=40t，S2=60t-30；

（2）由（1）得甲的速度为40千米/小时，乙的速度为60千米/小时，
根据题意得，=-1-0.5，
解得，a=180；

（3）乙到达B地的时间为：180÷60+0.5=3.5小时，
①当0≤t≤0.5时，s=S1=40t，最大值S=40×0.5=20km；
②当0.5＜t≤1.5时，s=S1-S2=40t-（60t-30）=-20t+30，没有最大值；
③当1.5＜t≤3.5时，s=S2-S1=60t-30-40t=20t-30，最大值S=20×3.5-30=40；
④当3.5＜t≤4.5时，s=180-S1=180-40t，没有最大值；
当t=3.5时，s的值最大为：20×3.5-30=40．