Question

方程x²+4x-1=0的根可视为函数y=x+4的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出：当m取任意正实数时，方程x³+mx-1=0的实根x一定在（ ）范围内．
A．-1＜x＜0
B．0＜x＜1
C．1＜x＜2
D．2＜x＜3

Answer

根据题意方程x3+mx-1=0的根可视为函数y=x2+m的图象与函数的图象交点的横坐标，由于当m取任意正实数时，函数y=x2+m的图象过第一、二象限，函数的图象分别在第一、三象限，得到它们的交点的横坐标为正数，观察函数图象得抛物线顶点越低，与函数的图象的交点的横坐标越大，然后求出当m=0时，y=x2与的交点A的坐标为（1，1），于是得到
当m取任意正实数时，方程x3+mx-1=0的实根x一定在0＜x＜1的范围内．
【解析】
∵方程x3+mx-1=0变形为x2+m-=0，
∴方程x3+mx-1=0的根可视为函数y=x2+m的图象与函数的图象交点的横坐标，
∵当m取任意正实数时，函数y=x2+m的图象过第一、二象限，函数的图象分别在第一、三象限，
∴它们的交点在第一象限，即它们的交点的横坐标为正数，
∵当m取任意正实数时，函数y=x2+m的图象沿y轴上下平移，且总在x轴上方，抛物线顶点越低，与函数的图象的交点的横坐标越大，
当m=0时，y=x2与的交点A的坐标为（1，1），
∴当m取任意正实数时，方程x3+mx-1=0的实根x一定在0＜x＜1的范围内．
故选B．