Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．P是AB的中点，正方形ADEF的边在线段CP上，则正方形ADEF与△ABC的面积的比为    ．

Answer

设AC与EF交于点M，首先根据∠BAC=90°，∠DAF=90°，可知∠PAD=∠MAF，根据SAS证明△PAD≌△MAF，可得AP=AM，已知P为AB中点，则知道M为AC中点，又可证明△AFM≌△CEM，得出M为EF中点，设FM=x，则EF=AD=2x，根据勾股定理得出AP=x，则AB=2x，分别求出△ABC的面积和正方形ADEF的面积，即可求出它们的比值．
【解析】
设AC与EF交于点M，
∵∠BAC=90°，∠DAF=90°，
∴∠PAD=∠MAF，
在△PAD和△MAF中，
，
∴△PAD≌△MAF，
则AP=AM，
∵P为AB中点，AB=AC，
∴M为AC中点，
在△AFM和△CEM中，
，
∴△AFM≌△CEM，
则M为EF中点，
设FM=x，则EF=AD=2x，
∴AM==x，
则AB=AC=2AM=2x，
∴S△ABC=×2x•2x=10x2，
S正方形ADEF=2x•2x=4x2．
则正方形ADEF与△ABC的面积的比为==．
故答案为：．