Question

如图，Rt△ABC中∠C=90°，AC=4，BC=3；半径为1的⊙P的圆心P在AC边上移动．
（1）当AP为多长时，⊙P与AB相切？（如有需要，可用图1分析）
（2）如图2，当⊙P运动到与边BC相交时，记交点为E，连结PE，并作PD⊥AC交AB于点D，问：四边形PDBE可能为平行四边形吗？若可能，求出此时AP的长；若不可能，说明理由．）

Answer

（1）根据切线的性质得出当PF=1时，⊙P与AB相切，利用相似三角形的判定与性质得出即可；
（2）根据平行四边形的判定，得出当PE∥AB时，四边形PDBE是平行四边形，由PE∥AB得，△PCE∽△ACB，进而求出即可．
【解析】
（1）过P作PF⊥AB于点F．
由⊙P的半径为1得，当PF=1时，⊙P与AB相切．
由∠A是公共角，∠PFA=∠C=90°，
得△APF∽△ABC，
∴，
其中，由AC=4、BC=3得AB=5
∴AP=；

（2）∵由PD⊥AC，∠C=90°，得PD∥BC，
∴当PE∥AB时，四边形PDBE是平行四边形．
由PE∥AB得，
△PCE∽△ACB，
∴
设AP=x，得PC=4-x
∴由PE=1，AB=5得，
解得x=，
因此，四边形PDBE是平行四边形，此时AP的长为．