Question

如图，在正方形ABCD中，∠DAC的平分线交DC于点E，点P、Q分别是AD和AE上的动点，若DQ+PQ的最小值是2，则正方形ABCD的周长为    ．

Answer

过D作DF⊥AE于F，延长DF交AC于D′，过D′作D′P′⊥AD于P′，D′P′交AE于Q′．由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值，再根据等腰直角三角形的性质求出正方形的边长，则周长=4×边长．
【解析】
过D作DF⊥AE于F，延长DF交AC于D′，过D′作D′P′⊥AD于P′，D′P′交AE于Q′．
∵DD′⊥AE于F，
∴∠AFD=∠AFD′=90°，
∵∠DAC的平分线交DC于点E，
∴∠DAE=∠CAE，
∵在△DAF与△D′AF中，
，
∴△DAF≌△D′AF（ASA），
∴D′是D关于AE的对称点，AD=AD′，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′=2，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=8，
∴AD′=2，AD=AD′=2
∴正方形ABCD的周长=4AD=8．
故答案为8．