Question

如图，四边形ABCD是矩形，将△BCD沿BD折叠为△BED，连接AE．
（1）求证：四边形ABDE是等腰梯形；
（2）若∠BDC=60°，BC=6，求AE的长．

Answer

（1）先由矩形及折叠的性质得出∠ODB=∠OBD，则OB=OD，易得OA=OE，则在等腰△OAE与等腰△OBD中，有一对对顶角相等，可得∠OAE=∠ODB，证得AE∥BD，又由AB=DE，则可得四边形ABDE是等腰梯形；
（2）先根据Rt△BCD中∠BDC=60°，BC=6求出CD及BD的长，再由图形反折变换的性质得出∠CBD=∠DBK
，故可得出∠ABK的度数，根据锐角三角函数的定义可求出AK的长度，由（1）可知四边形ABDE是等腰梯形，所以AK=EK，BK=DK，△AKB∽△BKD，根据相似三角形的对应边成比例即可求出AE的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ODB=∠DBC，
∵∠OBD=∠DBC，
∴∠ODB=∠OBD，
∴OB=OD，
∵AD=BC=BE，
∴OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵∠AOE=∠BOD，
∴∠OAE=∠ODB，
∴AE∥BD，
∵AB=CD=DE，
∴四边形ABDE是等腰梯形；

（2）∵Rt△BCD中∠BDC=60°，BC=6，
∴∠DBC=30°，CD===2，BD=2CD=4，
∵△BED由△BCD反折而成，
∴∠CBD=∠DBK=30°，
∴∠ABK=30°，
在Rt△ABK中，
∵∠ABK=30°，AB=CD=2，
∴AK=AB•tan30°=2×=2，
∴DK=AD-AK=6-2=4，
∵由（1）可知四边形ABDE是等腰梯形，
∴AK=EK，BK=DK，△AKB∽△BKD，
∴=，即=，解得AE=2．