Question

如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D为BC边上一动点（不与点B重合），过D作射线DE交AB边于E，使∠BDE=∠A，以D为圆心、DC的长为半径作⊙D．
（1）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．
（2）当⊙D与AB边相切时，求BD的长．
（3）如果⊙E是以E为圆心，AE的长为半径的圆，那么当BD的长为多少时，⊙D与⊙E相切？

Answer

（1）通过相似三角形△BDE∽△BAC的对应边成比例得到=，把相关线段的长度代入并整理得到y=5-x（0＜x≤）；
（2）如图，假设AB与⊙D相切于点F，连接FD．通过相似三角形△BFD∽△BGA的对应边成比例得到=．DF=6-BD，由勾股定理求得AG=4，BA=5，所以把相关线段的长度代入便可以求得BD的长度；
（3）分类讨论：⊙D与⊙E相外切和内切两种情况．由（1）的相似三角形推知BD=ED．所以如图2，当⊙D与⊙E相外切时．AE+CD=DE=BD；如图3，当⊙D与⊙E相内切时．CD-AE=DE=BD．
【解析】
（1）如图，∵∠B=∠B，∠BDE=∠A，
∴△BDE∽△BAC，
∴=，
∵AB=AC=5，BC=6，BD=x，AE=y，
∴=，即y=5-x．
∵0＜x≤6，且0≤y≤5，
∴0＜x≤．
综上所述，y关于x的函数关系式及其定义域为：y=5-x（0＜x≤）；

（2）如图，假设AB与⊙D相切于点F，连接FD，则DF=DC，∠BFD=90°．
过点A作AG⊥BC于点G，则∠BGA=90°．
∴在△BFD和△BGA中，∠BFD=∠BGA=90°，∠B=∠B，
∴△BFD∽△BGA，
∴=．
又∵AB=AC=5，BC=6，AG⊥BC
∴BG=BC=3，AG===4，
∴=，解得BD=；

（3）∵由（1）知，△BDE∽△BAC，
∴=，即==1，
∴BD=DE．
如图2，当⊙D与⊙E相外切时．
AE+CD=DE=BD，
∵由（1）知，BD=x，AE=y，y关于x的函数关系式是y=5-x，
∴5-x+6-x=x，
解得，x=，符合0＜x≤，
∴BD的长度为．
如图3，当⊙D与⊙E相内切时．CD-AE=DE=BD，
∵由（1）知，BD=x，AE=y，y关于x的函数关系式是y=5-x，
∴6-x-5+x=x，
解得，x=，符合0＜x≤，
∴BD的长度为．
综上所述，BD的长度是或．