Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D．
（1）求二次函数的解析式和B的坐标；
（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）由于抛物线的顶点C的坐标为（0，-2），所以抛物线的对称轴为y轴，且与y轴交点的纵坐标为-2，即b=0，c=-2，再将A（-1，0）代入y=ax2+bx+c，求出a的值，由此确定该抛物线的解析式，然后令y=0，解一元二次方程求出x的值即可得到点B的坐标；
（2）设P点坐标为（m，n）．由于∠PDB=∠BOC=90°，则D与O对应，所以当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：①△OCB∽△DBP；②△OCB∽△DPB．根据相似三角形对应边成比例，得出n与m的关系式，进而可得到点P的坐标；
（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x2-2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．过点Q作QE⊥l于点E．利用AAS易证△DBP≌△EPQ，得出BD=PE，DP=EQ．再分两种情况讨论：①P（m，）；②P（m，2（m-1））．都根据BD=PE，DP=EQ列出方程组，求出x与m的值，再结合条件x＞0且m＞1即可判断不存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为C（0，-2），
∴b=0，c=-2；
∵y=ax2+bx+c过点A（-1，0），
∴0=a+0-2，a=2，
∴抛物线的解析式为y=2x2-2．
当y=0时，2x2-2=0，
解得x=±1，
∴点B的坐标为（1，0）；

（2）设P（m，n）．
∵∠PDB=∠BOC=90°，
∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况：
①若△OCB∽△DBP，则=，
即=，
解得n=．
由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，
∴此时点P坐标为（m，）或（m，）；
②若△OCB∽△DPB，则=，
即=，
解得n=2m-2．
由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，
∴此时点P坐标为（m，2m-2）或（m，2-2m），
∵P在第一象限，m＞1，
∴（m，2m-2）或（m，2-2m）舍
综上所述，满足条件的点P的坐标为：（m，），（m，），（m，2m-2）．

（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x2-2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．
如图，过点Q作QE⊥l于点E．
∵∠DBP+∠BPD=90°，∠QPE+∠BPD=90°，
∴∠DBP=∠QPE．
在△DBP与△EPQ中，
，
∴△DBP≌△EPQ，
∴BD=PE，DP=EQ．
分两种情况：
①当P（m，）时，
∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2-2），
∴，
解得，（均不合题意舍去）；
②当P（m，2（m-1））时，
∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2-2），
∴，
解得，（均不合题意舍去）；
综上所述，不存在满足条件的点Q．