Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，点E在AD边上，且AE=4，EF⊥BE交CD于点F．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）求EF的长．

Answer

（1）根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，再根据同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用两角对应相等，两三角形相似证明；
（2）利用勾股定理列式求出BE，再求出DE，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
（1）证明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠2+∠3=180°-90°=90°，
∴∠1=∠3，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△ABE∽△DEF；

（2）【解析】
∵AB=3，AE=4，
∴BE===5，
∵AD=6，AE=4，
∴DE=AD-AE=6-4=2，
∵△ABE∽△DEF，
∴=，
即=，
解得EF=．