Question

如图，在平面直角坐标系中抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，与y轴交于点C，且x₁、x₂（x₁＜x₂）是方程（x+1）（x-3）=0的两个根．
（1）求抛物线的解析式及点C坐标；
（2）若点D是线段BC上一动点，过点D的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求DE长的最大值；
（3）试探究当DE取最大值时，在抛物线x轴下方是否存在点P，使以D、F、B、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer

（1）先根据直线的解析式求出A、B两点的坐标，然后将A、B的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．进而可根据抛物线的解析式求出C点的坐标．
（2）DE的长实际是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于DE的长和F点横坐标的函数关系式，可根据函数的性质来求出DE的最大值．
（3）根据（2）的结果可确定出F，D的坐标，要使以D，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形，必须满足的条件是MP∥=BF，那么只需将D点的坐标向左或向右平移BF长个单位即可得出P点的坐标，然后将得出的P点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出是否存在符合条件的P点．
【解析】
（1）如图，∵x1、x2（x1＜x2）是方程（x+1）（x-3）=0的两个根，
∴x1=-1，x2=3．
∵在平面直角坐标系中抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，
∴A（-1，0）、B（3，0），
把它们代入抛物线解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式是：y=x2-2x-3．
当x=0时，y=-3，
∴C（3，0）．
综上所述，抛物线的解析式是y=x2-2x-3，点C的坐标是（0，-3）；

（2）由（1）知B（3，0），C（0，-3），则易求直线BC的解析式是：y=x-3．
故设D（x，x-3）（0≤x≤3），则E（x，x2-2x-3）
∴DE=（x-3）-（x2-2x-3）=-x2+3x=-（x-）2+；
∴当x=时，DE的最大值为．

（3）答：不存在．
由（2）知DE取最大值时，DE=，E（，-），D（，-）
∴DF=，BF=OB-OF=．
设在抛物线x轴下方存在点P，使以D，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形，
则BP∥DF，BF∥PD．
∴P1（0，-）或P2（3，-）
当P1（0，-）时，由（1）知y=x2-2x-3=-3≠-，
∴P1不在抛物线上．
当P2（3，-）时，由（1）知y=x2-2x-3=0≠-，
∴P2不在抛物线上．
综上所述：抛物线x轴下方不存在点P，使以D，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形．