Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：①2a+b=0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有当a=时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有三个．那么，其中正确的结论是    ．

Answer

先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解析】
①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3，
∴AB=4，
∴对称轴x==1，
即2a+b=0；
②由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，而＞0
∴b＜0，
∵对称轴x=1，
∴当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0；

③∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3，
∴当x=2时y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
又∵b＜0，
∴4a+b+c＜0；

④要使△ABD为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半；
D到x轴的距离就是当x=1时y的值的绝对值．
当x=1时，y=a+b+c，
即|a+b+c|=2，
∵当x=1时y＜0，
∴a+b+c=-2
又∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3，
∴当x=-1时y=0即a-b+c=0；
x=3时y=0．
∴9a+3b+c=0，
解这三个方程可得：b=-1，a=，c=-；

⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，
当AB=BC=4时，
∵AO=1，△BOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2=16-9=7，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c=-，
与2a+b=0、a-b+c=0联立组成解方程组，解得a=；
同理当AB=AC=4时
∵AO=1，△AOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2=16-1=15，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c=-
与2a+b=0、a-b+c=0联立组成解方程组，解得a=；
同理当AC=BC时
在△AOC中，AC2=1+c2，
在△BOC中BC2=c2+9，
∵AC=BC，
∴1+c2=c2+9，此方程无解．
经解方程组可知只有两个a值满足条件．
故正确的有①④．