Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜45°，点O为AB中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O重合，一边OE经过点C，另一边OD与AC交于点M．
（1）如图1，当∠A=30°时，求证：MC²=AM²+BC²；
（2）如图2，当∠A≠30°时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由；
（3）将三角形ODE绕点O旋转，若直线OD与直线AC相交于点M，直线OE与直线BC相交于点N，连接MN，则MN²=AM²+BN²成立吗？
答：______（填“成立”或“不成立”）

Answer

（1）过A作AF⊥AC交CO延长线于F，连接MF，根据相似求出AF=BC，CO=OF，求出FM=CM，根据勾股定理求出即可；
（2）过A作AF⊥AC交CO延长线于F，连接MF，根据相似求出AF=BC，CO=OF，求出FM=CM，根据勾股定理求出即可；
（3）结论依然成立．
（1）证明：如图1，过A作AF⊥AC交CO延长线于F，连接MF，
∵∠ACB=90°，
∴BC∥AF，
∴△BOC∽△AOF，
∴==，
∵O为AB中点，
∴OA=OB，
∴AF=BC，CO=OF，
∵∠MOC=90°，
∴OM是CF的垂直平分线，
∴CM=MF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：MF2=AM2+AF2=AM2+BC2，
即MC2=AM2+BC2；

（2）【解析】
还成立，
理由是：如图2，
过A作AF⊥AC交CO延长线于F，连接MF，
∵∠ACB=90°，
∴BC∥AF，
∴△BOC∽△AOF，
∴==，
∵OA=OB，
∴AF=BC，CO=OF，
∵∠MOC=90°，
∴OM是CF的垂直平分线，
∴CM=MF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：MF2=AM2+AF2=AM2+BC2，
即MC2=AM2+BC2；

（3）成立．