Question

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax²+bx-2经过（2，1）和（6，-5）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设此抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，点P是在直线x=4右侧的这一抛物线上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若以A、P、M为顶点顶点的三角形与△OCB相似，求点P的坐标．

Answer

（1）因为抛物线过（2，1）和（6，-5）两点，所以把以上两点的坐标代入求出a和b的值即可求出抛物线的解析式；
（2）令y=0，得-x2+x-2=0，解这个方程，得x1=1，x2=4．所以A（1，0），B（4，0）．令x=0，得y=-2．所以可得到C（0，-2），P（m，-m2+m-2）．再分别①时，△OCB∽△MAP时和②当=时，△OCB∽△MPA，讨论求出符合题意的m值即可；
【解析】
（1）把（2，1）和（6，-5）两点坐标代入得，
解这个方程组，得 ，
故抛物线的解析式为y=-x2+x-2；

（2）令y=0，得-x2+x-2=0，
解这个方程，得x1=1，x2=4．
∴A（1，0），B（4，0）．
令x=0，得y=-2．
∴C（0，-2）．   
设P（m，-m2+m-2），
∵∠COB=∠AMP=90°，
当①时，△OCB∽△MAP．
∴，
解这个方程，得m1=8，m2=1（舍）．
∴点P的坐标为（8，-14），
②当=时，△OCB∽△MPA，
，
解这个方程，得m1=5，m2=1（舍）．
∴点P的坐标为（5，-2）．
∴点P的坐标为（8，-14）或（5，-2）．