Question

阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：
sin30°=，cos30°=，则sin²30°+cos²30°=______；①
sin45°=，cos45°=，则sin²45°+cos²45°=______；②
sin60°=，cos60°=，则sin²60°+cos²60°=______．③
…
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin²A+cos²A=______．④
（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；
（2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA=，求cosA．

Answer

①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值；
④由前面①②③的结论，即可猜想出：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1；
（1）过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90°．利用锐角三角函数的定义得出sinA=，cosA=，则sin2A+cos2A=，再根据勾股定理得到BD2+AD2=AB2，从而证明sin2A+cos2A=1；
（2）利用关系式sin2A+cos2A=1，结合已知条件cosA＞0且sinA=，进行求解．
【解析】
∵sin30°=，cos30°=，
∴sin230°+cos230°=（）2+（）2=+=1；①
∵sin45°=，cos45°=，
∴sin245°+cos245°=（）2+（）2=+=1；②
∵sin60°=，cos60°=，
∴sin260°+cos260°=（）2+（）2=+=1．③
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1．④
（1）如图，过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90°．
∵sinA=，cosA=，
∴sin2A+cos2A=（）2+（）2=，
∵∠ADB=90°，
∴BD2+AD2=AB2，
∴sin2A+cos2A=1．

（2）∵sinA=，sin2A+cos2A=1，∠A为锐角，
∴cosA==．