Question

如图，在△ABC中，AC=BC，AB=8，CD⊥AB，垂足为点D．M为边AB上任意一点，点N在射线CB上（点N与点C不重合），且MC=MN．设AM=x．
（1）如果CD=3，AM=CM，求AM 的长；
（2）如果CD=3，点N在边BC上．设CN=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果∠ACB=90°，NE⊥AB，垂足为点E．当点M在边AB上移动时，试判断线段ME的长是否会改变？说明你的理由．

Answer

（1）由等腰三角形的性质可知AD=AB=4，根据勾股定理可求出AC=5，再通过证明△ACM∽△ABC，由相似三角形的性质可得，进而求出AM的长；
（2）过点M作MF⊥BC，垂足为点F．由  AM=x，得  BM=8-x，又因为∠A=∠B，所以△MBF∽△ACD，由相似三角形的性质可知：，进而求出y与x的函数解析式，并写出函数的定义域即可；
（3）当点M在边AB上移动时，线段ME的长不变，ME=4是定值，此题要分（ⅰ）如果点N在边BC上，可知点M在线段AD上；（ⅱ）如果点N在边CB的延长线上，可知点M在线段BD上，且点E在边AB的延长线上两种情况讨论分别求出ME=4．
【解析】
（1）∵AC=BC，∴∠A=∠B．
∵AC=BC，CD⊥AB，
∴．
由勾股定理，得  ．
∵AM=CM，
∴∠A=∠ACM．
即得∠ACM=∠B．
∴△ACM∽△ABC．
∴．
∴．即得  ．

（2）过点M作MF⊥BC，垂足为点F．
由  AM=x，得  BM=8-x．
∵MF⊥BC，CD⊥AB，
∴∠MFB=∠ADC=90°．
又∵∠A=∠B，
∴△MBF∽△ACD．
∴．即得  ．
∴．
∴．
∵MC=MN，MF⊥BC，
∴．
即得  ．
定义域为  ；

（3）当点M在边AB上移动时，线段ME的长不变，ME=4．
由点N在射线CB上，可知点N在边BC上或点N在边CB的延长线上．
（ⅰ）如果点N在边BC上，可知点M在线段AD上．
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°．
又∵AC=BC，CD⊥AB，AB=8，
∴CD=BD=4．
即得∠BCD=45°．
∵MC=MN，
∴∠MCN=∠MNC．
∵∠MCN=∠MCD+∠BCD，∠MNC=∠B+∠BMN，
∴∠MCD=∠NME．
又∵CD⊥AB，NE⊥AB，
∴∠CDM=∠MEN=90°．
∴△MCD≌△MNE（A．A．S）．
∴ME=CD=4．
（ⅱ）如果点N在边CB的延长线上，可知点M在线段BD上，且点E在边AB的延长线上．
于是，由∠ABC=∠MNC+∠BMN=45°，
∠BCD=∠MCD+∠MCN=45°，
∠MCN=∠MNC，
得∠MCD=∠BMN．
再由  MC=MN，∠CDM=∠MEN=90°，
得△MCD≌△MNE（A．A．S）．
∴ME=CD=4．
∴由（ⅰ）、（ⅱ）可知，当点M在边AB上移动时，线段ME的长不变，ME=4．