Question

已知：在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．
现有下面三种说法：
①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形；
②如果添加条件“tanB=tanC”，那么△ABC是等边三角形；
③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．
上述说法中，正确的说法有（ ）
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个

Answer

若添加条件“AB=AC”，得到△ABC为等腰三角形，再由∠A为60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得证；若添加条件“tanB=tanC”，由B和C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值得到∠B=∠C，再由∠A为60°，利用三角形的内角和定理得到∠B=∠C=60°，即三个内角相等，可得出三角形ABC为等边三角形，得证；若添加条件“边AB、BC上的高相等”，如图所示，由HL判定出直角三角形ACD与直角三角形AEC全等，由全等三角形的对应角相等得到∠ACE=∠BAC=60°，再利用三角形的内角和定理得到第三个角也为60°，即三内角相等，可得出三角形ABC为等边三角形，得证，综上，正确的个数为3个．
【解析】
若添加的条件为AB=AC，由∠A=60°，
利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；
若添加条件为tanB=tanC，可得出∠B=∠C，
又∠A=60°，∴∠B=∠C=60°，
即∠A=∠B=∠C，
则△ABC为等边三角形；
若添加的条件为边AB、BC上的高相等，如图所示：

已知：∠BAC=60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且AE=CD，
求证：△ABC为等边三角形．
证明：∵AE⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠AEC=90°，
在Rt△ADC和Rt△CEA中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），
∴∠ACE=∠BAC=60°，
∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
∴AB=AC=BC，即△ABC为等边三角形，
综上，正确的说法有3个．
故选A