Question

如图，点A（-2，0）、B（4，0）、C（3，3）在抛物线y=ax²+bx+c上，点D在y轴上，且DC⊥BC，∠BCD绕点C顺时针旋转后两边与x轴、y轴分别相交于点E、F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）CF能否经过抛物线的顶点？若能，求出此时点E的坐标；若不能，说明理由；
（3）若△FDC是等腰三角形，求点F的坐标．

Answer

（1）由抛物线与X轴的两个交点A、B的坐标，可以由两根式设抛物线解析式为：y=a（x+2）（x-4），求出a的值即可；
（2）由C、B两点坐标利用待定系数法可以求得CB直线方程为：y=-3x+12，设CD直线方程可以设为：y=x+m，求出m的值，进而求出D点的值，由抛物线解析式可以顶点公式或对称轴x=1解得顶点M坐标，由C、M两点坐标可以求得CM即CF直线方程，CE直线方程可以设为：y=x+n，求出n的值，进而求出E点的坐标；
（3）由C、D两点坐标可以求得CD=，△FDC是等腰△可以有三种情形：①当FD=CD；②FC=CD；③FD=FC，分别求出F点的坐标即可；
【解析】
（1）由抛物线与X轴的两个交点A、B的坐标，
可以由两根式设抛物线解析式为：y=a（x+2）（x-4），
然后将C点坐标代入得：a（3+2）（3-4）=3，
解得：a=-，
故抛物线解析式是：y=-（x+2）（x-4）；

（2）由C、B两点坐标利用待定系数法可以求得CB直线方程为：y=-3x+12，
∵CD⊥CB，
∴CD直线方程可以设为：
y=x+m，
将C点坐标代入得：m=2，
∴CD直线方程为：y=x+2，
∴D点坐标为：D（0，2），
由抛物线解析式可以顶点公式或对称轴x=1解得顶点M坐标为M（1，），
∴由C、M两点坐标可以求得CM即CF直线方程为：y=-x+，
∴F点坐标为：F（0，），
∴CE直线方程可以设为：y=x+n，
将C点坐标代入得：n=，
∴CE直线方程为：y=x+，
令y=0，解得：x=-，
∴E点坐标为E（-，0），
∴能；
（3）由C、D两点坐标可以求得CD=，
则△FDC是等腰△可以有三种情形：
①FD=CD=，
则F点坐标为F（0，2+），
②FC=CD=，过C点作y轴垂线，垂足为H点，
则DH=1，
则FH=1，
则F点坐标为F（0，4），
③FD=FC，作DC的中垂线FG，交y轴于F点，交DC于G点，
由中点公式得G点坐标为G（，），
由DC两点可以求得DC直线方程为：y=x+2，
则FG直线方程可以设为：y=-3x+p，
将G点坐标代入解得：p=7，
故F点坐标为（0，7）．