Question

如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，BC∥AO，顶点O在坐标原点，顶点A（4，0），顶点B（1，4），动点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA的方向向A运动，同时，动点Q从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C的方向向C运动．当其中一个点到达终点时，另一个也随之停止．设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，PB与AQ互相平分？
（2）设△PAQ的面积为S，求S与t的函数关系式．当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以PQ为直径的圆与y轴相切？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据已知得出0≤t≤3，过B作BD⊥OA于D，得出矩形OCBD，求出OA=OC=BD=4，BC=1，AD=3，AB=5，根据PB与AQ互相平分得出Q在BC上，根据平行四边形的性质和判定得出4-t=2t-5，求出即可；
（2）①当0≤t＜时，点Q在线段AB上运动，OP=t．AQ=2t，过Q作QH⊥OA于H，求出QH=QA•sin∠OAB=t，求出S=-（t-2）2+，求出当t=2时，S有最大值是；②当≤≤3时，求出S=•（4-t）•4=8-2t，求出当t=时，S有最大值是3，即可得出答案；
（3）①当0≤t＜时，点Q在线段AB上运动，求出P的坐标、Q的坐标，求出PQ2=（4-t-t）2+（t）2，求出PQ的中点的横坐标是2-，得出方程2-=PQ，代入求出即可；
②当≤t≤3时，得出方程（3-）2=（9t2-36t+52），求出即可．
【解析】
（1）由题意得：0≤t≤3，
过B作BD⊥OA于D，
则四边形OCBD是矩形，
∵A（4，0），B（1，4），
∴OA=OC=BD=4，BC=1，AD=4-1=3，
∴AB==5，
若PB与AQ互相平分，则Q在BC上，四边形PABQ是平行四边形，
∴PA=QB，
即4-t=2t-5，
∴t=3；

（2）①当0≤t＜时，点Q在线段AB上运动，OP=t．AQ=2t，
如图1，过Q作QH⊥OA于H，
则QH=QA•sin∠OAB=2t•=t，
即S=PA•QH=•（4-t）•t
=-（t-2）2+，
∵a=-＜0，
∴当t=2时，S有最大值是；
②当≤≤3时，点Q在线段BC上运动，
∴S=•（4-t）•4=8-2t，
∵-2＜0，
∴S随t的增大而减小，
∴当t=时，S有最大值是3，
综合上述，当t=2时，S有最大值是；

（3）①如图2，当0≤t＜时，点Q在线段AB上运动，
由题意得：P的坐标是（t，0），Q的坐标是（4-t，t），
PQ2=（4-t-t）2+（t）2=t2-t+16，
PQ的中点的横坐标是（t+4-t）÷2=2-，
若以PQ为直径的圆与y轴相切，则2-=PQ，
∴（2-）2=（t2-t+16），
解得：t=0（舍去），t=，
∵＜，
∴t=符合题意；
②当≤t≤3时，即Q在线段BC上运动时，
由题意P（t，0），Q（6-2t，4），
PQ2=（6-2t-t）2+16=9t2-36t+52，
PQ的中点的横坐标是，即3-，
若以PQ为直径的圆与y轴相切，则3-=PQ，
∴（3-）2=（9t2-36t+52），
解得：t=1或t=2，均不符合题意，舍去．
综上所述，存在时刻t=，使得以PQ为直径的圆与y轴相切．