Question

已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．
（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若（1）中的⊙O与AB边的另一个交点为E，半径为2，AB=6，求线段AD、AE与劣弧DE所围成的图形面积．（结果保留根号和π）《根据2011江苏扬州市中考试题改编》

Answer

（1）作出AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆即可得出答案，再利用平行线的判定得出∠ODB=∠C，由切线的判定得出即可；
（2）首先利用直角三角形的性质求出AD的长，进而得出△ADO的面积，进而得出扇形ODE的面积，即可得出答案．
【解析】
（1）如图1，作AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆．
判断结果：BC是⊙O的切线．
如图2，连接OD． 
∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAB
∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAB
∴∠DAC=∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C，
∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，
 即：OD⊥BC
∵OD是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线．

（2）如图3，过点O作OF⊥AD于点F，
∵r=2，AB=6，
∴OB=4，再由DO=2，OD⊥BC，
∴∠OBD=30°，∠DOB=60°，
∵OE=OD，
∴△EOD为等边三角形，
即可得出∠OAD=∠ODA=30°，
∴FO=AO=1，
∵AE=4，
∴DA=cos30°AE=×AE=2，
∵△ADO的面积为×AD×=×1×2=，
扇形ODE的面积为，
∴阴影部分的面积为：+π．