Question

在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，点A（0，4）．△AOB是等边三角形，点B在第一象限．
（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；
（Ⅱ）点P是x轴上的一个动点，连接AP，以点A为旋转中心，把△AOP逆时针旋转，使边AO与AB重合，得△ABD．
①如图②，当点P运动到点（，0）时，求此时点D的坐标；
②求在点P运动过程中，使△OPD的面积等于的点P的坐标（直接写出结果即可）．

Answer

（I）过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．依题意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得点B的坐标．
（II）①由△ABD由△AOP旋转得到，证明△ABD≌△AOP．AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等边三角形．利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函数求出BG=BD•cos60°，DG=BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出点D的坐标．
②本题分三种情况进行讨论，设点P的坐标为（x，0）：第一种情况：当点P在x轴正半轴上时，第二种情况：当P在x轴负半轴，OP＜时，第三种情况：当点P在x轴的负半轴上，且OP≥时，此时点D在x轴上或第四象限．综合上面三种情况即可求出符合条件的值．
【解析】
（Ⅰ）如图①，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F，
∵△AOB是等边三角形，OA=4，
∴BF=OE=2．
在Rt△OBF中，
由勾股定理，得．
∴点B的坐标为（，2）．     

（Ⅱ）①如图②，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F，过点D作DH⊥x轴于点H，
延长EB交DH于点G．
则BG⊥DH．
∵△ABD由△AOP旋转得到，
∴△ABD≌△AOP．
∴∠ABD=∠AOP=90°，．
∵△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60°．
∵BE⊥OA，
∴∠ABE=30°，∴∠DBG=60°，∠BDG=30°．
在Rt△DBG中，．
∵sin60°=，∴DG=DB•sin60°=．
∴．．
∴点D的坐标为（，）．     

②点P的坐标分别为（，0）、（，0）、（，0）、
（，0）．
假设存在点P，在它运动过程中，使△OPD的面积等于．
设OP=x，下面分三种情况讨论．
第一种情况：
当点P在x轴正半轴上时，如图③，BD=OP=x，
在Rt△DBG中，∠DBG=60°，
∴DG=BD•sin60°=．
∴．
∵△OPD的面积等于，
∴•，．
解得：，（舍去）．
∴点P1的坐标为（，0）．
第二种情况：
当点P在x轴的负半轴上，且OP＜时，此时点D在第一象限，如图④，
在Rt△DBG中，∠DBG=30°，BG=BD•cos30°=．
∴．
∵△OPD的面积等于，
∴•，．
解得：，．
∴点P2的坐标为（，0）．点P3的坐标为（，0）．
第三种情况：
当点P在x轴的负半轴上，且OP≥时，此时点D在x轴上或第四象限，如图⑤，
在Rt△DBG中，∠DBG=60°，
∴DG=BD•sin60°=．
∵△OPD的面积等于，
∴•，．
解得：，（舍去）．
∴点P4的坐标为（，0）．
综上所述，点P的坐标为：P1（，0）、P2（，0）、P3（，0）、P4（，0）．