Question

如图1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP=CQ．设AP=x．
（1）当PQ∥AD时，x的值等于______；
（2）如图2，线段PQ的垂直平分线EF与BC边相交于点E，连接EP、EQ，设BE=y，求y关于x的函数关系式；
（3）在问题（2）中，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并求当x取何值时，S的值最小，最小值是多少？

Answer

（1）根据矩形的性质可以求出AB=CD及AB∥CD，再有AD∥PQ可以得出四边形ADQP是平行四边形，由其性质就可以得出DQ=CQ，从而求出CQ的值而求出PA的值；
（2）根据中垂线的性质可以得出EP=EQ，由勾股定理就可以表示出EP2=PB2+BE2，EQ2=EC2+CQ2，由AP=x，BE=y，就可以表示出BP=8-x，EC=6-y，从而可以得出y与x之间的函数关系式；
（3）由条件可以得出S=S梯形BPQC-S△BPE-S△ECQ，再分别表示出S△BPE和S△ECQ及梯形的面积就可以得出结论．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD=8．∠A=∠D=∠C=∠B=90°．
∵PQ∥AD，
∴四边形ADQP是平行四边形，
∴AP=DQ．
∵AP=CQ，
∴DQ=CQ
∴DQ=CD=4，
∴AP=4．

（2）如图2，∵EF是线段PQ的垂直平分线，
∴EP=EQ，
在Rt△BPE和Rt△ECQ中，由勾股定理，得
EP2=PB2+BE2，EQ2=EC2+CQ2，
∵AP=x，BE=y，
∴BP=8-x，EC=6-y．
∴（8-x）2+y2=（6-y）2+x2，
∴；

（3）由题意，得
S=S梯形BPQC-S△BPE-S△ECQ．
∵，
，
∴S=S梯形BPQC--．
∵AP=CQ，
∴．
∴，
∴，
∴当x=4时，S有最小值12．
故答案为：4．