Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？
（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．

Answer

（1）用t表示出AM和AN的值，根据AM=AN，得到关于t的方程求得t值即可；
（2）作NH⊥AC于H，证得△ANH∽△ABC，从而得到比例式，然后用t表示出NH，从而计算其面积得到有关t的二次函数求最值即可．
【解析】
（1）∵从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．
∴AM=12-t，AN=2t
∵∠AMN=∠ANM
∴AM=AN，从而12-t=2t
解得：t=4 秒，
∴当t为4时，∠AMN=∠ANM．

（2）在Rt△ABC中
∵AB2=BC2+AC2
∴AB=13
如图，作NH⊥AC于H，
∴∠NHA=∠C=90°，
∵∠A是公共角，
∴△NHA∽△BCA
∴=，
即：=，
∴NH=
从而有S△AMN=（12-t）•=-t2+，
∴当t=6时，S最大值=．