Question

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠AMB=75°，∠DCM=45°，CM=BM．
求证：
（1）△BMC为等边三角形；
（2）AB=AD．

Answer

（1）根据∠BMC=180°-75°-45°=60°，CM=BM，利用等边三角形的判定得出即可；
（2）首先利用AAS，证明△AMB≌△EBC，进而得出AD=CE，即可得出答案．
证明：（1）∵∠AMB=75°，∠DCM=45°，
∴∠BMC=180°-75°-45°=60°，
∵CM=BM，
∴△BMC是等边三角形，（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）；

（2）过点C作CE⊥AB于点E，
∵△BMC是等边三角形，
∴BC=BM，∠CBM=60°，
∵∠AMB=75°，∴∠MBA=90°-75°=15°，
∴∠ABC=∠ABM+∠MBC=15°+60°=75°，
∴，
∴△AMB≌△EBC（AAS），
∴AB=CE，
∵AB∥CD，AD⊥AB，CE⊥AB，
∴AD=CE，
∴AB=AD．