Question

如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？

Answer

（1）要证DE是⊙O的切线，必须证ED⊥OD，即∠EDB+∠ODB=90°
（2）要证AOED是平行四边形，则DE∥AB，D为AC中点，又BD⊥AC，所以△ABC为等腰直角三角形，所以∠CAB=45°．
（1）证明：连接OD，BD．
∵D是圆上一点
∴∠ADB=90°，∠BDC=90°
则△BDC是Rt△，且已知E为BC中点，
∴∠EDB=∠EBD．
又∵OD=OB且∠EBD+∠DBO=90°，
∴∠EDB+∠ODB=90°．
∴DE是⊙O的切线．

（2）【解析】
连接OD，BD，AE，OE，
∵∠EDO=∠ABC=90°，
若要AOED是平行四边形，则DE∥AB，D为AC中点，
又∵BD⊥AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
所以当∠CAB为45°时，四边形AOED是平行四边形．