Question

在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，过A作AE的垂线交ED于点P，若AE=AP=1，PB=，下列结论：
①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③S_{正方形ABCD}=4+； 
其中正确的是（ ）

A．①②③
B．只有①③
C．只有①
D．只有③

Answer

首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD≌△AEB，故选项①正确；由①可得∠BEP=90°，故BE不垂直于AE过点B作BM⊥AE延长线于M，由①得∠AEB=135°所以∠EMB=45°，所以△EMB是等腰Rt△，求出B到直线AE距离为BF，即可对于②作出判断；根据三角形的面积公式得到S△BPD=PD×BE=，所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+，由此即可对③判定．
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠BAP+∠PAD=90°，
∵EA⊥AP，
∴∠EAB+∠BAP=90°，
∴∠PAD=∠EAB，
∵在△APD和△AEB中，
，
∴△APD≌△AEB（SAS），故①正确；
∵△AEP为等腰直角三角形，
∴∠AEP=∠APE=45°，
∴∠APD=∠AEB=135°，
∴∠BEP=90°，
过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，则BF的长是点B到直线AE的距离，
在△AEP中，AE=AP=1，根据勾股定理得：PE=，
在△BEP中，PB=，PE=，由勾股定理得：BE=，
∵∠PAE=∠PEB=∠EFB=90°，AE=AP，
∴∠AEP=45°，
∴∠BEF=180°-45°-90°=45°，
∴∠EBF=45°，
∴EF=BF，
在△EFB中，由勾股定理得：EF=BF=，
故②是错误的；
由△APD≌△AEB，
∴PD=BE=，
∵S△BPD=PD×BE=，
∴S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+，
∴S正方形ABCD=2S△ABD=4+．故选项③正确，
则正确的序号有：①③．
故选B．