Question

某服装厂现有工人1000人，原来全部从事服装生产，为了企业改革需要，准备将其部分人分流从事服务行业，经过调研发现，服装生产的利润y₁（百万元）与服装生产的工作人数x（百人）的关系为y₁=，从事服务行业的纯利润y₂ （百万元）与从事服务行业人数t（百人）的关系y₂=．服装工厂总利润w（百万元）为两种行业纯利润和．
（1）写出y₂与x 的函数关系式，并写出自变量取值范围；
（2）求出W与x的函数关系式；
（3）工厂如何安排工人数，才能使总利润最大？

Answer

（1）由题意可得从事服务行业人数t=10-x（百人），又由从事服务行业的纯利润y2 （百万元）与从事服务行业人数t（百人）的关系y2=，将t=10-x代入，即可求得y2与x 的函数关系式；
（2）由服装工厂总利润w（百万元）为两种行业纯利润和，分别从当0≤x≤6时，当6≤x≤8时与当8≤x≤10时去分析即可求得W与x的函数关系式；
（3）利用二次函数最值问题，分别求得当0≤x≤6时，当6≤x≤8时与当8≤x≤10时w的最大值，即可求得答案．
【解析】
（1）∵服装厂现有工人1000人，即服装厂现有工人10百人，
∴从事服务行业人数t=10-x（百人），
∵y2=．
∴y2=，
即y2=，
∴y2与x 的函数关系式为：y2=；

（2）当0≤x≤6时，w=-（x-1）2+16+2x+3=-（x-3）2+23，
当6≤x≤8时，w=-（x-1）2+16-4x+39=-（x+3）2+59，
当8≤x≤10时，w=（x-1）2-2-4x+39=（x-3）2+29，
∴W与x的函数关系式为：w=；

（3）由（2）可得：①当0≤x≤6时，x=3时，w最大为23百万元；
②当6≤x≤8时，
∵当x＞-3时，w随x增大而减小，
∴当x=6时，w最大为18.5百万元；
③当8≤x≤10时，
∵当x＞3时，w随x增大而增大，
∴当x=10时，w最大为78百万元；
∴1000人都从事服装生产，获得利润最大．