Question

如图，⊙O的直径AB=4，C、D为圆周上两点，且四边形OBCD是菱形，过点D的直线EF∥AC，交BA、BC的延长线于点E、F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，说明理由；
（2）求DE的长．

Answer

（1）由四边形OBCD为菱形得到OD与BC平行，根据O为AB的中点，得到G为AC的中点，利用垂径定理的逆定理得到OD与AC垂直，再由EF与AC平行，利用与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到EF与OD垂直，即可得到EF为圆O的切线；
（2）由四边形OBCD为菱形得到四边相等，再由OG为三角形ABC的中位线得到OG等于半径的一半，确定出G为OD的中点，再由AC与EF平行得到A为OE的中点，即AG等于ED的一半，在直角三角形AOG中，由OA与OG的长，利用勾股定理求出AG的长，由DE=2AG即可求出DE的长．
【解析】
（1）EF为圆O的切线，理由为：
∵四边形OBCD为菱形，
∴OD∥BC，
∵O为AB的中点，
∴G为AC的中点，
∴OD⊥AC，
∵AC∥EF，
∴OD⊥EF，
则EF与圆O相切；

（2）∵四边形OBCD为菱形，
∴OD=OB=BC=CD=2，
∵OG为△ABC的中位线，
∴OG=BC=1，即OG=OD，
∴G为OD的中点，
∵AC∥EF，
∴A为OE的中点，即AG为△OED的中位线，
∴AG=DE，
在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AG==，
则DE=2AG=2．