Question

已知反比例函数的图象与一次函数y=-x+6相交与第一象限的A、B两点，如图所示，过A、B两点分别做x、y轴的垂线，线段AC、BD相交与P，给出以下结论：
①OA=OB；②△OAM∽△OBN；③若△ABP的面积是8，则k=5；④P点一定在直线y=x上，
其中正确命题的个数是（ ）个．

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

①先求出直线y=-x+6与两坐标轴的交点坐标可得出△OEF是等腰直角三角形，故E、F两点关于直线y=x对称，再由反比例函数的图象关于直线y=x对称可知A、B两点关于直线y=x对称，故可得出y=x是线段AB的垂直平分线，由此即可得出结论；
②根据A、B两点关于直线y=x对称，AM⊥y轴，BN⊥x轴可知AM=BM，再由①知OA=OB，所以△OAM≌△OBN，故△OAM∽△OBN；
③设A（x，6-x），则B（6-x，x），P（x，6-2x），再由三角形的面积公式求出x的值，故可得出A点坐标，再根据点A在反比例函数的图象上即可求出反比例函数的解析式；
④根据点A、B关于直线y=x对称可知，OM=ON，再由AM⊥y轴，AC⊥x轴，BD⊥y轴，BN⊥x轴可知，四边形AMOC与四边形BDON均是矩形，由②知AM=BN，故OC=OD，所以AP=PB，所以点P在线段AB的垂直平分线上，所以点P在直线y=x上．
【解析】
①∵令x=0，则y=6，令y=0，则x=6，
∴E（0，6），F（6，0），
∴E、F两点关于直线y=x对称，
∵反比例函数的图象关于直线y=x对称，
∴A、B两点关于直线y=x对称，
∴y=x是线段AB的垂直平分线，
∴OA=OB，故①正确；
②∵A、B两点关于直线y=x对称，AM⊥y轴，BN⊥x轴，
∴AM=BN，
∵由①知OA=OB，
∴△OAM≌△OBN，
∴△OAM∽△OBN，故②正确；
③设A（x，6-x），
∵A、B两点关于直线y=x对称，
∴B（6-x，x），P（x，6-2x），
∵△ABP的面积是8，
∴S△ABP=PB•AP=（6-2x）（6-2x）=8，解得x=1或x=5，
∵当x=1时，6-x=5，∴A（1，5）；
当x=5时，6-x=1，∴A（5，1）；
∵点A在反比例函数y=的图象上，
∴k=1×5=5，故③正确；
④∵点A、B关于直线y=x对称，
∴OM=ON，
∵AM⊥y轴，AC⊥x轴，BD⊥y轴，BN⊥x轴，
∴四边形AMOC与四边形BDON均是矩形，
∵由②知AM=BN，
∴OC=OD，
∴AP=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∴点P在直线y=x上，故④正确．
故选D．