Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D是弧BC的中点，连接AD，交BC于点F．
（1）过点D作DE∥BC，交AC的延长线于点E，判断DE是否是⊙O的切线，并说明理由；
（2）若CD=6，AC：AF=4：5，求⊙O的半径．

Answer

（1）连接OD、BD，先由OA=OD，可得∠OAD=∠ODA，而D是弧BC的中点，那么弧CD=弧BD，利用同圆中相等的弧所对的圆周角相等，可得∠BAD=∠CAD，从而∠ODA=∠CAD，利用内错角相等两直线平行，可知OD∥AC，再利用平行线的性质有∠AED+∠ODE=180°，由于AB是直径，就有∠ACB=90°，而BC∥DE，那么∠AED=∠ACB=90°，代入∠AED+∠ODE=180°中，可求∠ODE=90°，即DE是⊙O的切线；
（2）由于AB是直径，那么∠ADB=∠ACB=90°，由（1）可知∠CAD=∠BAD，所以就有△ACF≌△ADB，可得比例线段AD：AB=AC：AF=4：5，于是有cos∠BAD=，可求sin∠BAD=，而sin∠BAD=BD：AB，又BD=CD=6，于是可求AB=10，则半径=5．
【解析】
（1）DE是⊙O的切线．（说明：结论（1分），但不重复得分）
证明：连接OD、BD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，（1分）
∵点D是弧BC的中点，
∴弧DC=弧BD，
∴∠CAD=∠OAD，（2分）
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，（3分）
∴∠ODE+∠AED=180°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，（4分）
又∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ACB=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，（5分）
∴DE是⊙O的切线．（6分）

（2）∵AB是直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°（7分）
由（1）知，∠CAD=∠BAD，
∴△ACF∽△ADB，（8分）
∴，
∴，
∴，
又∵，BD=CD=6，
∴AB=10，（9分）
∵AB是⊙O直径，
∴⊙O的半径为5．（10分）