Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-3），AB⊥x轴，垂足为B，将线段AB绕点O顺时针旋转90°，得到线段CD（其中点A、B的对应点分别为点C、D）．设直线AC与x轴、y轴分别相交于点E、F．
（1）求经过B、E、F的抛物线的解析式；
（2）若点M在（1）中的抛物线上，且点M到点B的距离与到点D的距离之差最大，求点M的坐标；
（3）若点G在直线AC上，且点G到点B的距离与到点D的距离之和最小，求此最小值．

Answer

（1）根据已知得出B（1，0），C（-3，-1），D（0，-1），首先求出直线AC的解析式，进而求出点E、F的坐标，再利用交点式求出解析式即可；
（2）首先求出直线BD的解析式为y=k1x+b1，再设点M的坐标为（m，m-1），代入二次函数解析式求出即可；
（3）首先得出△DGF∽△EOF，求出DP的长，再利用△DPQ∽△EFO，HO=PQ=，PH=OQ=，再利用勾股定理求出最小值BP即可．
【解析】
（1）由题意得B（1，0），C（-3，-1），D（0，-1）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，则  
解得
∴．
∴点E、F的坐标分别是（-5，0），（0，）．
设所求抛物线的解析式为y=a（x-1）（x+5），
∴，即a=．
∴．

（2）如图1，连接BD并延长，与抛物线的交点即为所求点M．
设直线BD的解析式为y=k1x+b1，
则 
解得 
∴y=x-1．
设点M的坐标为（m，m-1），
∴，
解得m1=-3，m2=1 （舍去）．
即点M的坐标为（-3，-4）．

（3）如图2，作点D关于直线AC的对称点P，DP与AC相交于点G，连接BP．则BP长即为所求的最小值．
由（1）知，OE=5，OF=，OD=1，
故DF=，EF=．
∵∠DGF=∠EOF=90°，∠DFG=∠EFO，
∴△DGF∽△EOF．
∴，
∴DG=，GF=．
∴DP=2DG=．
作PQ⊥y轴，PH⊥x轴，垂足分别为Q、H．
同理可证△DPQ∽△EFO，
∴，
∴PQ=，DQ=．
∴HO=PQ=，PH=OQ=．
∴．