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如图,已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交⊙O...

如图,已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交⊙O的切线BE于点E,过点D作DF⊥AC,交AC的延长线于点F.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)若DF=3,DE=2
①求manfen5.com 满分网值;
②求图中阴影部分的面积.

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(1)作辅助线,连接OD.根据切线的判定定理,只需证DF⊥OD即可; (2)①连接BD.根据BE、DF两切线的性质证明△BDE∽△ABE;又由角平分线的性质、等腰三角形的两个底角相等求得△ABE∽△AFD,所以△BDE∽△AFD;最后由相似三角形的对应边成比例求得; ②连接OC,交AD于G.由①,设BE=2x,则AD=3x.利用①中的△BDE∽△ABE的对应边成比例的性质求得,据此列出关于x的方程,解方程求得x=2,继而可以求出AD=3x=6,BE=2x=4,AE=AD+DE=8;然后由勾股定理知AB=4,在直角三角形ABE中求得∠1=30°;再由三角形的角平分线的性质、等腰三角形的性质及边角关系求得AG=DG,所以△ACG≌△DOG;最后根据两个全等三角形的面积相等的性质求扇形的面积即可. 证明:(1)连接OD ∵OA=OD,∴∠1=∠2 ∵∠1=∠3,∴∠2=∠3 ∴OD∥AF ∵DF⊥AF,∴OD⊥DF ∴DF是⊙O的切线 (2)①【解析】 连接BD ∵直径AB ∴∠ADB=90° ∵圆O与BE相切 ∴∠ABE=90° ∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90° ∴∠DAB=∠DBE ∴∠DAB=∠FAD ∵∠AFD=∠BDE=90° ∴△BDE∽△AFD ∴ (2)②【解析】 连接OC,交AD于G 由①,设BE=2x,则AD=3x ∵△BDE∽△ABE∴ ∴ 解得:x1=2,(不合题意,舍去) ∴AD=3x=6,BE=2x=4,AE=AD+DE=8 ∴AB=,∠1=30° ∴∠2=∠3=∠1=30°,∴∠COD=2∠3=60° ∴∠OGD=90°=∠AGC,∴AG=DG ∴△ACG≌△DOG,∴S△AGC=S△DGO ∴S阴影=S扇形COD=
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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