Question

如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A，B坐标分别为（8，4），（0，4），线段CD在于x轴上，CD=3，点C从原点出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度向右平移，点D随着点C同时同速同方向运动，过点D作x轴的垂线交线段AB于点E，交OA于点G，连接CE交OA于点F．设运动时间为t，当E点到达A点时，停止所有运动．

（1）求线段CE的长；
（2）记S为Rt△CDE与△ABO的重叠部分面积，试写出S关于t函数关系式及t的取值范围；
（3）如图2，连接DF，
①当t取何值时，以C，F，D为顶点的三角形为等腰三角形？
②直接写出△CDF的外接圆与OA相切时t的值．

Answer

（1）直接根据勾股定理求出CE的长即可；
（2）作FH⊥CD于H．，由AB∥OD，DE⊥OD，OB⊥OD可知四边形ODEB是矩形，故可用t表示出AE及BE的长，由相似三角形的判定定理可得出△OCF∽△AEF，△ODG∽△AEG，由相似三角形的性质可用t表示出CF及EG的长，FH∥ED可得出•=，故可求出HD的长，由三角形的面积公式可求出S与t的关系式；
（3）①由（2）知CF=t，当CF=CD时，则t=3；当CF=DF时，由FH⊥CD，FH∥DE，可得出CF：CE=FH：DE，由此可得出t的值；当DF=CD时，作DK⊥CF于K，则CK=CF=t，CK=CDcos∠DCE，由此可得出t的值；
②先根据勾股定理求出OA的长，由（2）知HD=（5-t），由相似三角形的判定定理得出Rt△AOB∽Rt△OFH，故=，由此可用t表示出OF的长，因为当△CDF的外接圆与OA相切时，则OF为切线，OD为割线，由切割线定理可知OF2=OC•OD，故可得出结论．
【解析】
（1）∵在Rt△CDE中，CD=3，DE=4，
∴CE===5；

（2）如图1，作FH⊥CD于H．
∵AB∥OD，DE⊥OD，OB⊥OD，
∴四边形ODEB是矩形，
∴BE=OD，
∵OC=t，
∴BE=OD=OC+CD=t+3，
∴AE=AB-BE=8-（t+3）=5-t，
∵AB∥OD，
∴△OCF∽△AEF，△ODG∽△AEG，
∴==，==，
又∵CF+EF=5，DG+EG=4，
∴=，=，
∴CF=t，EG=，
∴EF=CE-CF=5-t，
∵FH∥ED，
∴=，即HD=•CD=（5-t），
∴S=EG•HD=××（5-t）=（5-t）2，
t的取值范围为：0≤t≤5；

（3）①由（2）知CF=t，
（i）当CF=CD时，则t=3；
（ii）如图2，当CF=DF时，
∵FH⊥CD，
∴CH=CD，
又∵FH∥DE，
∴CF：CE=FH：DE，
∴CF=CE=
即t=；
（iii）如图3，当DF=CD时，如图作DK⊥CF于K，
则CK=CF=t，
∵CK=CDcos∠DCE，
∴t=3×，
解得：t=；
综上，当t=3或或时，△CDF为等腰三角形；
②∵点A，B坐标分别为（8，4），（0，4），
∴AB=8，OB=4，
∴OA===4，
∵由（2）知HD=（5-t），
∴OH=t+3-（5-t）=，
∵∠A+∠AOB=∠AOD+∠AOB=90°，
∴∠A=∠AOD，
∴Rt△AOB∽Rt△OFH，
∴=，=，解得OF=，
∵当△CDF的外接圆与OA相切时，则OF为切线，OD为割线，
∴OF2=OC•OD，即（）2=t（t+3），得t=．