Question

已知，在边长为6的正方形ABCD的两侧如图作正方形BEFG、正方形DMNK，恰好使得N、A、F三点在一直线上，连接MF交线段AD于点P，连接NP，设正方形BEFG的边长为x，正方形DMNK的边长为y，
（1）求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）当△NPF的面积为32时，求x的值；
（3）以P为圆心，AP为半径的圆能否与以G为圆心，GF为半径的圆相切？若能请求x的值；若不能，请说明理由．

Answer

（1）由正方形的性质和三角形相似解答即可；
（2）由正方形的性质和平行线分线段成比例以及三角形的面积解答即可；
（3）由两圆相切的性质，正方形的性质以及勾股定理解决问题．
【解析】
（1）∵四边形BEFG、DMNK、ABCD是正方形，
∴∠E=∠F=90°，AE∥MC，MC∥NK，
∴AE∥NK，
∴∠KNA=∠EAF，
∴△KNA∽△EAF，
∴，
即，
∴y=x+6（0＜x≤6）；

（2）由（1）可知：NK=AE，
∵四边形DMNK是正方形，
∴AP∥NM，
∴，
∴AN=AF，
∵NK=AE，∠K=∠E，
∴△KNA≌△EAF，
∴FP=PM，
∴S△MNP=S△NPF=32，
∴S正方形DMNK=2S△MNP=64，
∴y=8，
∴x=2；

（3）连接PG，延长FG交AD于H点，则GH⊥AD．
易知：；
HG=6；．
①当两圆外切时，在Rt△GHP中，PH2+HG2=PG2即，
∵y=x+6，
代入整理得：x2+6x-18=0，
解得：（负值舍去），
②当两圆内切时，在Rt△GHP中，PH2+HG2=PG2即，
∵y=x+6，
代入整理得：36=0，
方程无解，
所以，当时，这两个圆相切．