Question

如图，D是△ABC中AB边的中点，△BCE和△ACF都是等边三角形，M、N分别是CE、CF的中点．
（1）求证：△DMN是等边三角形；
（2）连接EF，Q是EF中点，CP⊥EF于点P．求证：DP=DQ．
同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：
小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将△NCM绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置．

Answer

（1）取AC的中点G，连接NG，DG，再由D为AB的中点，得到DG为三角形ABC的中位线，利用三角形中位线定理得到DG平行于BC，且等于BC的一半，再由NC为三角形AFC的中位线，得到NG与AF平行，由三角形ACF为等边三角形，得到三角形NCG为等边三角形，可得出NG=NC，由M为等边三角形BEC边EC的中点，得到DG=CM，由DG与BC平行，利用两直线平行同旁内角互补，得到∠DGC+∠GCB=180°，进而得到∠NGD+∠GCB=240°，而∠GCB+∠NCM=240°，可得出∠NGD=∠NCM，利用SAS得到△NGD≌△NCM，可得出ND=DM，再由∠GNC=∠GND+∠CND=∠MNC+∠CND=60°，得到∠MND=60°，即可得到三角形MND为等边三角形；
（2）由NQ为三角形ECF的中位线，得到NQ等于EC的一半，再由PC垂直于PE，M为CE斜边上的中点，得到PM为CE的一半，可得出NQ=PM，由PM=ME，利用等边对等角，得到一对角相等，由MN为三角形ECF的中位线，得到MN与EF平行，利用两直线平行得到内错角相等，等量代换得到∠PMN=∠QNM，利用等式的性质得到∠QND=∠PMD，利用SAS得到△QND≌△PMD，利用全等三角形的对应边相等即可得到DP=DQ．
证明：（1）取AC的中点G，连接NG、DG，
∵D为AB的中点，即DG为△ABC的中位线，
∴DG=BC，DG∥BC，
∵N为FC的中点，即NG为△AFC的中位线，
∴NG∥AF，又△ACF为等边三角形，
∴∠CNG=∠F=∠CGN=∠CAF=60°，
∴△NGC是等边三角形，
∴NG=NC，
∵M为等边三角形BEC边EC的中点，
∴DG=CM=EC=BC，
∵∠DGC+∠GCB=180°，
∴∠NGD+∠GCB=240°，
∵∠GCB+∠NCM=240°，
∴∠NGD=∠NCM，
在△NGD和△NCM中，
，
∴△NGD≌△NCM（SAS），
∴ND=NM，∠GND=∠CNM，
∴∠GNC=∠GND+∠CND=∠MNC+∠CND=60°，
∴∠DNM=60°，
∴△DMN是等边三角形；

（2）连接QN、PM，
∵QN为△FCE的中位线，PM为直角三角形PCE斜边上的中线，
∴QN=CE=PM，
∵Rt△CPE中，PM=EM，
∴∠MEP=∠MPE，
∵MN∥EF，
∴∠MPE=∠PMN，∠FQN=∠QNM，
∵NQ∥CE，
∴∠FQN=∠MEP，
∴∠PMN=∠QNM，又∠NMD=∠MND=60°，
∴∠PMN+∠NMD=∠QNM+∠MND，即∠QND=∠PMD，
在△QND和△PMD中，
，
∴△QND≌△PMD（SAS），
∴DQ=DP．