Question

如图所示，梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，∠ADC=60°，点A、D在x轴上，点A在点D的左侧，点C在y轴的正半轴上，点D的坐标为（2，0）．动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度，在折线段C-B-A上匀速运动到点A停止，设运动时间为t秒．
（1）求出点B、C的坐标；
（2）当t=4时，求直线DP的函数解析式及△DCP的面积；
（3）t为何值时，直线DP恰好将梯形ABCD分成面积比为1：2的两部分？

Answer

（1）由D的坐标得出OD的长，在直角三角形OCD中，由∠ADC=60°，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OC的长，得出C的坐标，且求出∠OCD=30°，利用直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长，再由BC=CD=AB，得出CD与AB的长，过B作BF垂直于x轴，在直角三角形ABF中，由AB及∠BAD=60°，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出BF的长，由BC及BF即可得到B的坐标；
（2）当t=4时，根据每秒1个单位，求出CP=4，而BC=4，此时P与B重合，故设此时直线PD的解析式为y=kx+b，将B和D的坐标代入，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，确定出直线PD的解析式，三角形DCP以BC为底边，BC边上的高与OC相等，利用三角形的面积公式即可求出三角形DCP的面积；
（3）由BF=OC，OF=BC，利用AD=AF+OF+OD求出AD，然后由上底BC，下底AD及高OC，求出梯形ABCD的面积，分两种情况考虑：（i）P在BC边上时，由（2）求出的三角形DCP面积恰好等于梯形面积的，得到此时P与B重合，把P记作P1，可得出t=4时，直线DP1恰好将梯形ABCD分成面积比为1：2的两部分；（ii）当P在AB边上时，P记作P2，过P2作P2G垂直于x轴，三角形AP2D的面积以AD为底边，高为P2G，根据三角形AP2D的面积为梯形面积的，列出关系式，求出P2G的长，在直角三角形AP2G中，由∠BAD=60°，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出AP2的长，再由AB+BC-AP求出P2运动的路程，即可求出此时的时间t，综上，得到所有满足题意的时间t的值．
【解析】
（1）∵点D的坐标为（2，0），即OD=2，∠ADC=60°，∠COD=90°，
∴OC=OD•tan60°=2，∠OCD=30°，
∴DC=2OD=4，
∴点C的坐标为（0，2），
∵AB=BC=CD，
∴BC=4，AB=4，
过点B作BF⊥AD于点F，
∵BC∥AD，
∴BF=CO=2，
∴点B的坐标为（-4，2）；

（2）当t=4时，CP=4，此时点P恰好与点B重合，记点P为P1，
设直线DP1的函数表达式为y=kx+b，
将B和D的坐标代入y=kx+b得：，
解得：，
∴直线DP1的函数表达式为y=-x+，S△DCP1=•BC•OC=×4×2=4；

（3）由（1）知：AF=AB•cos60°=4×=2，OF=BC=4，
∴AD=AF+OF+OD=8，
∴S梯形ABCD=×（4+8）×2=12，
（i）当点P在BC上时，由（2）知，当t=4时，S△DCP1=4=S梯形ABCD，
∴当t=4时，直线DP1将梯形ABCD分成面积比为1：2的两部分；
（ii）当点P在AB上时，记点P为P2，过点P2作P2G⊥AD于点G，
若S△DCP2=S梯形ABCD=×12=4，
则×AD×P2G=4，又AD=8，
∴P2G=，
∴P2A===2，
∴CB+BP2=AB+BC-P2A=4+4-2=6，
此时t=6，
综上，当t=4或t=6时，直线DP恰好将梯形ABCD分成面积比为1：2的两部分．