Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点（0，3a），对称轴为x=1．
（1）试用含a的代数式表示b、c．
（2）当抛物线与直线y=x-1交于点（2，1）时，求此抛物线的解析式．
（3）求当b（c+6）取得最大值时的抛物线的顶点坐标．

Answer

（1）根据抛物线与y轴的交点可以得到c与a的关系，根据对称轴可以得到b与a的关系；
（2）间已知点的坐标代入函数关系式并结合上题求得的系数的关系得到a、b、c的值即可求得其解析式；
（3）b（c+6）=-2a（3a+6）=-6a2-12a=-6（a+1）2+6，从而确定a的值，确定二次函数的解析式后即可确定其顶点坐标．
【解析】
（1）∵抛物线与y轴交于点（0，3a）
∴c=3a
∵对称轴为=1，
∴x=-=1
∴b=-2a；

（2）∵抛物线与直线y=x-1交于点（2，1），
∴（2，1）在抛物线上，
∴1=a×22+2（-2a）+3a
∴a=
∴b=-2a=-  c=3a=1
∴抛物线为y=x2-x+1；

（3）∵b（c+6）=-2a（3a+6）=-6a2-12a=-6（a+1）2+6
当a=-1时，b（c+6）的最大值为6；
∴抛物线y=-x2+2x-3=-（x-1）2-2
故抛物线的顶点坐标为（1，-2）．