Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：四边形CFDE是正方形；
（2）若AC=3，BC=4，求△ABC的内切圆半径．

Answer

（1）利用矩形的判定得出四边形CFDE是矩形，再利用角平分线的性质得出DF=DE，即可得出矩形OECF是正方形；
（2）根据切线长定理可得：CE=CF=（AC+BC-AB），由此可求出r的长即可．
（1）证明：如图1，过点D作DN⊥AB于点N，
∵∠C=90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠C=∠DEC=∠DFC=90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∵∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，DN⊥AB于点N，
∴DE=DN，DN=DF，
∴DF=DE，
∴矩形CFDE是正方形；

（2）【解析】
如图2，
在Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4；
根据勾股定理AB==5；
由切线长定理，得：AN=AF，BN=BE，CE=CF；
∴CE=CF=（AC+BC-AB）；
即：r=（3+4-5）=1．