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已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,以点P(2,)为圆心的圆与y轴相切于点A,...

已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,以点P(2,manfen5.com 满分网)为圆心的圆与y轴相切于点A,与x轴相交于B、C两点(点B在点C的左边).
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)在(1)中的抛物线上是否存在点M,使△MBP的面积是菱形ABCP面积的manfen5.com 满分网.如果存在,请直接写出所有满足条件的M点的坐标;如果若不存在,请说明理由;
(3)如果一个动点D自点P出发,先到达y轴上的某点,再到达x轴上某点,最后运动到(1)中抛物线的顶点Q处,求使点D运动的总路径最短的路径的长.

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(1)连接PA,PB,PC,过点P作PG⊥BC于点G,求出P点的坐标,然后求得点A、B、C的坐标用待定系数法求得二次函数的解析式即可; (2)因为△ABP和△CBP的面积是菱形ABCP面积的,故过点A、C作BP的平行线,与抛物线的交点即是满足条件的点M. (3)将原方程配方后得到抛物线的顶点Q(2,),然后作点P关于y轴的对称点P',则P’(-2,).连接P'Q,则P'Q是最短总路径,根据勾股定理,可得P′Q=. 【解析】 (1)连接PA,PB,PC,过点P作PG⊥BC于点G, ∵⊙P与y轴相切于点A, ∴PA⊥y轴, ∵P(2,), ∴OG=AP=2,PG=OA=, ∴PB=PC=2, ∴BG=1, ∴CG=1,BC=2. ∴OB=1,OC=3. ∴A(0,),B(1,0),C(3,0), 根据题意设二次函数解析式为:y=a(x-1)(x-3), 则, 解得:a=. 故二次函数的解析式为:. (2)∵点B(1,0),点P(2,), ∴BP的解析式为:y=x-; 则过点A平行于BP的直线解析式为:y=x+,过点C平行于BP的直线解析式为:y=x-3l2, 从而可得①:x+=x2-x+, 解得:x1=0,x2=7, 从而可得满足题意的点M的坐标为(0,)、(7,8); ②x-3=x2-x+, 解得:x1=3,x2=4, 从而可得满足题意的点M的坐标为:(3,0)、(4,) 综上可得点M的坐标为(0,),(3,0),(4,),(7,). (3)∵=, ∴抛物线的顶点Q(2,). 作点P关于y轴的对称点P',则P'(-2,). 连接P'Q,则P'Q是最短总路径,根据勾股定理,可得P'Q=. .
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考点分析:
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(1)求AC的长度;
(2)将Rt△ABC以每秒1 cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移,当点C与点F重合时停止移动,设Rt△ABC与矩形DEFG重叠部分的面积为y,请求出重叠面积y(cm2)与移动时间x(s)的函数关系式(时间不包括起始与终止时刻);
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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