Question

如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在x轴下方的抛物线上，且△PAB的面积等于△ABC的面积，求点P的坐标；
（3）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．

Answer

（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把点A、B、C的坐标代入解析式得到关于a、b、c的三元一次方程组，求解即可得到抛物线解析式；
（2）根据等底等高的三角形的面积相等可得点P到AB的距离等于3，再根据点P在x轴下方可知点P的纵坐标为-3，然后代入抛物线解析式求解即可得到点P的横坐标，从而得解；
（3）根据点B、C的坐标求出OB、OC的长度，再根据勾股定理列式求出BC的长度，然后分①Q1O=Q1B时，过Q1作Q1D1⊥x轴于D1，根据等腰三角形三线合一可得点D1是OB的中点，从而得到点Q1是BC的中点；②点Q在x轴上方，Q2B=OB时，过Q2作Q2D2⊥x轴于D2，利用∠OBC的正弦值求出Q2D2的长度，利用余弦值求出BD2的长度，再求出OD2，即可得到点Q2的坐标；③点Q在x轴下方，Q3B=OB时，过Q3作Q3D3⊥x轴于D3，根据对顶角相等，利用∠OBC的正弦值求出Q3D3的长度，利用余弦值求出BD3的长度，再求出OD3，即可得到点Q3的坐标；④Q4O=OB时，根据等腰三角形三线合一的性质求出BQ4的长度，再过Q4作Q4D4⊥x轴于D4，利用∠OBC的正弦值求出Q4D4的长度，利用余弦值求出BD4的长度，再求出OD4，即可得到点Q4的坐标．
【解析】
（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，3），
∴，
解得，
故抛物线的解析式为y=-x2+x+3；

（2）存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的底边AB上的高为3，
∴设△PAB的高为h，则|h|=3，
∵点P在x轴下方，
∴点P的纵坐标为-3，
∴-x2+x+3=-3，
整理得，x2-3x-8=0，
解得x1=，x2=，
∴点P的坐标为（，-3），（，-3）；

（3）∵点B（4，0），点C（0，3），
∴OB=4，OC=3，
根据勾股定理，BC===5，
①Q1O=Q1B时，过Q1作Q1D1⊥x轴于D1，则点D1是OB的中点，
∴点Q1是BC的中点，
∴Q1（2，）；
②点Q在x轴上方，Q2B=OB时，过Q2作Q2D2⊥x轴于D2，
则Q2D2=BQ2sin∠OBC=4×=，
BD2=BQ2cos∠OBC=4×=，
所以，OD2=OB-BD2=4-=，
所以，Q2（，）；
③点Q在x轴下方，Q3B=OB时，过Q3作Q3D3⊥x轴于D3，
则Q3D3=BQ3sin∠OBC=4×=，
BD3=BQ3cos∠OBC=4×=，
所以OD3=OB+BD3=4+=，
所以点Q3（，-）；
④Q4O=OB时，根据等腰三角形三线合一的性质，BQ4=2•OBcos∠OBC=2×4×=，
过Q4作Q4D4⊥x轴于D4，
则Q4D4=BQ4sin∠OBC=×=，
BD4=BQ4cos∠OBC=×=，
所以，OD4=OD4-OB=-4=，
所以点Q4（-，）；
综上所述，点Q的坐标为Q1（2，），Q2（，），Q3（，-），Q4（-，）．