Question

已知矩形纸片OBCD，OB=2，OD=1．如图①②，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，使顶点O与边CD上的点E重合．

（Ⅰ）如图①，折痕FG分别与OD、OB交于点F、G，且，求点E的坐标；
（Ⅱ）如图②，折痕FG分别与CD、OB交于点F、G，过O、D、E三点的圆恰与直线BC相切于点N，OE与FG交于点P．
①求点E的坐标；
②求折痕FG的长．

Answer

（I）首先求出DF的长，进而利用勾股定理得出DE的长，即可得出E点坐标；
（II）①首先证明四边形OBNM是矩形，进而得出△OMP∽△ODE，利用勾股定理求出DE的长，即可得出E点坐标；
②首先得出△EFP∽△EOD，进而得出PF的长，再利用△FEP≌△GOP，即可得出折痕FG的长．
【解析】
（Ⅰ）∵OD=1，，
∴．
∵折叠后点O与点E重合，
∴△EFG≌△OFG．
∴．
∵四边形OBCD是矩形，
∴∠ODC=90°．
在Rt△DEF中，．
∴点E的坐标为（，1）．                   

（Ⅱ）①如图所示，连接NP，并延长交OD于点M，
∵折叠后点O与点E重合，且FG是折痕，
∴PO=PE．
∵∠ODC=90°，
∴OE是过O、D、E三点的圆的直径，点P是圆心．
∵BC切⊙P于点N，∴∠DOB=∠OBC=∠BNM=90°．
∴四边形OBNM是矩形．
∴MN=OB=2，且MN∥OB．
∵DC∥OB，∴DC∥MN．
∴△OMP∽△ODE．
∴．
∴．
设DE=x，则，．
在⊙P中，，
∴OE=2PE=4-x．
在Rt△ODE中，由OD2+DE2=OE2，
得12+x2=（4-x）2．
解得．
即．
∴点E的坐标（，1）．                   

②．
∵折叠后点O与点E重合，且FG是折痕，
∴OE⊥FG．
∴∠EPF=∠EDO=90°．
∵∠FEP=∠OED，
∴△EFP∽△EOD．
∴．
∴．
∵DC∥OB，
∴∠FEP=∠GOP，∠EFP=∠OGP．
，
∴△FEP≌△GOP（AAS）．
∴FP=GP．
∴．
∴折痕FG的长是．