Question

如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠D=30°．
（l）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD=，求扇形0AC的面积．（结果保留π）

Answer

（1）要证明CD是⊙O的切线，即证明OC⊥CD．连接OC，由AC=CD，∠D=30°，则∠A=∠D=30°，得到∠COD=60°，所以∠OCD=90°；
（2）由（1）得△OCD是直角三角形，由特殊角的三角函数求出圆的半径再代入扇形的面积公式即可求出扇形0AC的面积．
（1）证明：连接OC，
∵AC=CD，且∠D=30°，
∴∠A=∠D=30°，
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠COD=∠ACO+∠A=60°，
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°，
∴DC是⊙O的切线；

（2）由（1）得△OCD是直角三角形，
∵在Rt△OCD中，CD=3，∠D=30°，
∴OC=CD tan30°=3×=3，
∴S扇形OAC=．